表題のような iPhone のエラーメッセージではまりました。どなたかの参考になるかもしれないので、解決までのメモを残しておきます。
エラーが出た iPhone は修理中の代替機になります。手持ちの iPhone 6 の画面が割れてしまったので修理に出し、修理期間中に代替機を借りました。
iTunes で修理前にバックアップしたデータを代替機に復元させた後、iPhone を開くと、アプリケーションをインストールするために Apple ID のパスワード入力を求められます。ここで、パスワードを入力すると「Apple ID サーバへの接続時にエラーが起きました」というエラーが発生して、何度やり直しても症状が改善しない事態に陥ってしまいました。
最終的に、原因はよくわからなかったのですが、Wi-Fi を一度オフにして一般回線で繋いだらエラーが発生しなくなりました。その後 Wi-Fi に繋ぎなおしても問題ありません。
必ずこれで直るとは言えないですが、同様の症状になった際は Wi-Fi オフにして一般回線に繋ぐのを一度試してみると私と同じように改善するかもしれませんので、一度お試しいただくと良いかと思います。
